复变函数平均值定理

平均值定理

要说这个定理呢，其实有的书上也叫他平均值公式，也有叫它平均值性质，Whatever，我们这里就叫他平均值定理好了。

并且还有两个不同版本的平均值定理（但他们其实说的都是同一件事），然后这里我们介绍的以解析函数来介绍平均值定理。

若f(z)f(z)在|ζ−z0|<R|ζ−z0|<R内解析，在|ζ−z0|≤R|ζ−z0|≤R上连续，则

f(z0)=12π∫2π0f(z0+Reiφ)dφ

f(z0)=12π∫02πf(z0+Reiφ)dφ

如果你是第一次看见这个公式的话，哎有爆粗的冲动也是可以理解，接下来我们开始对这个则后面的结论进行分析。

首先是f(z0)f(z0)我们应该如何理解？

对于其中的z0z0我们是可以理解为一个(x,y)(x,y)的，因为z0=x+iyz0=x+iy嘛。那么ff这个东西相当于输入了一个(x,,y)(x,,y)然后返回了一个(x′,y′)(x′,y′)[因为返回出来的东西也可能是一个复数]，但是为了理解更形象，我们假设，f(z0)f(z0)是可以被画到一个叫做ff的坐标上的。