函数解方程全过程

简单的函数方程（一）

函数方程的概念：

1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x＋1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数

2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解

3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程

4.定理（柯西函数方程的解）

若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x＋y)=f(x)＋f(y)(x,y∈R)、则f(x)=xf(1)

证明：由题设不难得

f(x1＋x2＋…＋xn)=f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)

取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)

令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0--------- （1）

x=1，则f(n)=nf(1)

x= ，则f(m)=nf( ) ，解得f( )= f(m)=f(1)--------- (2)

x=－ ，且令y=－x＞0，则f(x)＋f(y)=f(x＋y)=f(0)=0

∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1)(m,n∈N+,且(m,n)=1)---------(3)

由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)

另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列{xn}，则有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)

综上所述，对于任意实数x，有

f(x)=xf(1)

函数方程的解法：

1.代换法（或换元法）

把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数

例1 （1）已知f(2x－1)=x2＋x，那麽f(x)=______________。

略解：设t=2x－1，则x=(t＋1)，那麽f(t)= (t＋1)2＋(t＋1)=t2＋t＋

故f(x)=x2＋x＋

(2) 已知f( ＋1)=x＋2 ，那麽f(x)=____________。

略解：f( ＋1)=(＋1)2－1，故f(x)=x2－1 (x≥1)